Mag. Jörg Kliemann, Höhere landwirtschaftliche Bundeslehranstalt St.Florian

Mathematische Inhalte:

Kurzzusammenfassung:

Lehrplanbezug:

Mediales Umfeld:

Anmerkungen:

1. Probieren Sie das einmal aus!

Probieren ist als Methode in der Mathematik nie so recht zum Zug gekommen, fehlt dem Pobieren doch die der Mathematik zugeordnete Exaktheit. Zum Beispiel fehlt bei der Klassifizierung der Lösungsverfahren von Gleichungen/Gleichungssystemen immer die Methode des Probierens, die dabei als einfachste Methode an erster Stelle stehen müßte.
Beim Probieren scheint mir der große Zeitaufwand als die einzige Begründung gegen diese Methode stichhaltig. Doch genau dieses Problem läßt sich mit dem Einsatz von Software-Werkzeugen (z.B. Tabellenkalkulation) beheben.
Im folgenden sollen grundlegende finanzmathematische Probleme mit Hilfe einer Tabellenkalkulation gelöst werden, ohne auch nur eine Gleichung zu lösen und ohne auch nur eine finanzmathematische Formel zu verwenden.

2. Die Problemstellung

Eine Schuld von 100 000,- S soll in 10 Jahren getilgt werden. Wie hoch sind die nachschüssigen Rückzahlungsraten bei einem Zinssatz von 8%?

Es wird nun ein Tilgungsplan aufgestellt, in dem die jährliche zurückzuzahlende Annuität, die Aufteilung dieser Rückzahlung in Zinsanteil und den die Schuld verringernden Tilgungsanteil, sowie die verbleibende Restschuld in eine Tabelle eingetragen werden.

Tabellenkalkulationen sind auch insofern universelle Werkzeuge, als es nicht auf die Verwendung einer speziellen Marke ankommt. Die folgende Beschreibung der Zelleninhalte ist daher (weitgehend) unabhängig von der jeweils verwendeten Tabellenkalkulation. Außerdem ist es in den gängigen Tabellenkalkulationsprogrammen möglich, Arbeitsblätter in den Formaten anderer Programme zu übernehmen.

3. Das Arbeitsblatt

Kursiv gesetzte Zeilen sind Kommentare!

Beschriftung
A1: Tilgungsplan
A2: Zinssatz =
B2: 0.08
A3: Zeitpunkt
B3: Tilgungsanteil
C3: Zinsanteil
D3: Annuität
E3: Restschuld

A4: 0
E4: 100000

A5: =A4+1

Tilgungsanteil=Restschuld*Zinssatz
B5: =E4*$B$2

Zinsanteil=Annuität-Tilgungsanteil
C5: =D5-B5

Vorerst beliebiger Phantasiewert für die Annuität
D5: 12345

Restschuld=alteRestschuld-Tilgungsanteil
E5: =E4-B5

Kopieren des Bereiches A5:E5 nach A6:E6

Übernahme des Wertes der Annuität von D5
D6: =D5

Kopieren des Bereiches A6:E6 nach A14:E14

Um das ganze Arbeitsblatt übersichtlicher zu gestalten, können Sie jetzt folgende Operationen durchführen:
Vergrößern der Spaltenbreite so, daß die Spalten A bis E die gesamte Bildschirmbreite ausfüllen
Festlegen des Zahlenformates auf 2 Dezimalstellen für den Bereich B4:E14
Festlegen des Zahlenformates von B2 auf eine linksbündige Prozentzahl mit 2 Dezimalen

Arbeitsblatt TILG0.XLS

4. Die Lösung

Verändern Sie jetzt den Wert der Annuität in D5 solange bis der Wert der Restschuld in E14 annähernd null ist. Dabei ist die Verwendung der Funktionstaste F2 hilfreich, die den Inhalt der markierten Zelle in die Eingabezeile holt.

Arbeitsblatt TILG1.XLS

5. Weitere Aufgabenstellungen

Eine Schuld von 100 000,- S soll in 6 Jahren getilgt werden. Wie hoch sind die nachschüssigen Rückzahlungsraten bei einem Zinssatz von 8%?

Löschen Sie den Bereich A11:E14 und verfahren Sie zur Lösung wie oben.

Eine Schuld von 100 000,- S soll in 20 Jahren getilgt werden. Wie hoch sind die nachschüssigen Rückzahlungsraten bei einem Zinssatz von 8%?

Kopieren Sie die letzte Zeile A6:E6 nach A7:E24 und verfahren Sie bei der Lösung wie oben. Eventuell müssen Sie sich das Fenster horizontal in zwei Ausschnitte teilen, sodaß Sie im oberen Ausschnitt den Inhalt der Zelle D5 ändern können und gleichzeitig im unteren Ausschnitt in der Zelle E24 den Wert der letzten Restschuld betrachten können.

Berechnen Sie den Barwert einer 12-jährigen nachschüssigen Rente mit einer Rate von 12 000,- S bei einer Verzinsung von 9.5%?

Verändern Sie das Arbeitsblatt so, daß die Tabelle den Bereich A1:E16 ausfüllt.
B2: 0.095
D5: 12000
Verändern Sie jetzt den Wert der Anfangsschuld in E4 (=Barwert) solange, bis der Schuldrest in E16 annähernd null ist.

Arbeitsblatt TILG2.XLS

Berechnen Sie die Rentabilität (=Zinssatz) von 10 nachschüssigen Raten von 15 000,- S bei einem Barwert von 100 000,- S.

Verändern Sie das Arbeitsblatt so, daß die Tabelle den Bereich A1:E14 ausfüllt.
E4: 100000
D5: 15000
Verändern Sie jetzt den Wert des Zinssatzes in B2 solange, bis der Schuldrest in E16 annähernd null ist.

Arbeitsblatt TILG3.XLS

Eine Schuld von 100 000,- S wird bei einem Zinssatz von 7.5% durch jährliche nachschüssige Raten von 12 306,- S getilgt. Wie lange laufen diese Rückzahlungen?

E4: 100000
B2: 0.075
D5: 12306
Das Arbeitsblatt soll nun einen Bereich ausfüllen, der groß genug ist, um den Wechsel der Restschuld von einem positven zu einem negativen Wert zu zeigen. Das ist bei einem Bereich A1:E24 der Fall. Daraus ist leicht abzulesen, daß die Laufzeit 13 Jahre beträgt.

Arbeitsblatt TILG4.XLS