Anwendungsbeispiele im Mathematikunterricht

Christian Schweitzer, TGM Wien

Anwendungsbeispiele im Mathematikunterricht

Mathematische Inhalte:

Modellbildung

Anwendung:

Zusammenfassung erworbener Kenntnisse aus dem 1., 2. und 3. Jahrgang

Kurzzusammenfassung:

Schüler referieren über umfangreiche Anwendungsaufgaben, Verwendung von Overheadprojektor, Erstellen von Unterlagen.

Lehrplanbezug:

3. Jahrgang, Anwendung der mathematischen Kenntnisse auf praktische Beispiele

Zeitaufwand:

1 Stunde Vorbereitung, 20 bis 25 Minuten je Schüler

Mediales Umfeld:

Verwendete Medien: Overheadprojektor, evtl.. PC
Dateien zum Herunterladen: sc_zyl*.*

Anmerkungen:

Die Dateien sind Grafiken im BMP bzw. WMF Format, die für die Erstellung der Folien in der konkreten Schülerarbeit verwendet wurden.

1. Die Idee

In unserem angewandten Mathematikunterricht ist es notwendig, im Zusammenhang und in Absprache mit den fachtheoretischen Gegenständen, Anwendungsbeispiele zu rechnen. Dabei haben die Schüler vor allem mit der Modellbildung, der Umsetzung eines praktisches Beispiels in die Sprache der Mathematik und der entsprechenden Interpretation der Ergebnisse oft große Probleme. Aber gerade diese Aufgaben soll ein Ingenieur lösen können. In den technischen Gegenständen wird oft nur ein rezepthafter Ansatz gebraucht und verwendet. Auf der anderen Seite ist es im Mathematikunterricht nur zum Teil möglich, Anwendungsbeispiele zu rechnen und Hinweise zu entsprechenden Problemen zu geben. Umfangreiche Beispiele können vom Lehrer zwar vorgeführt werden, aber das kostet Zeit und bietet bei weitem nicht die Sicherheit, daß ein Schüler selbständig ein ähnliches Problem zu lösen imstande wäre. Ich möchte daher im folgenden Beitrag ein Methode vorstellen, mit der ich in einem 3. Jahrgang viele wirklich umfangreiche Anwendungsbeispiele aus den unterschiedlichsten Gebieten recht erfolgreich umgesetzt habe.

Jeder Schüler soll ein umfangreiches Anwendungsbeispiel selbständig lösen - auch unter Zuhilfenahme von Zusatzliteratur, Lehrbüchern und anderen Quellen. Es wird den Schülern die Möglichkeit geboten, während der Vorbereitung der Aufgabe Hilfestellungen zu konkreten Fragen zu erhalten.
Diese vollständige Lösung wird weiters in ansprechender Form schriftlich gestaltet und den Schulkollegen als Kopie zur Verfügung gestellt.
Das Beispiel soll in Form eines kurzen Referats (10-15 Minuten) im Rahmen des Mathematikunterrichts präsentiert werden. Es soll dabei vor allem auf die Modellbildung und das Interpretieren der Ergebnisse eingegangen werden. Die umfangreichen Rechenschritte stehen in den schriftlichen Unterlagen zur Verfügung und müssen nicht im Detail vorgeführt werden.
Bei der Präsentation sind vorrangig Overheadfolien bzw. auch andere Medien (Computer, Dias, Bildmaterial, ...) einzusetzen.
Die Aufgaben haben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad - so kann auf das Können der einzelnen Schüler Rücksicht genommen werden (Förderung der besseren Schüler, Motivation der schwächeren Schüler).
Damit die Schüler wissen, was von ihnen verlangt wird und wie eine solche Präsentation aussehen könnte ist es natürlich sinnvoll, wenn ein entsprechendes Beispiel vorgeführt wird. Das trägt wesentlich zu Sicherheit bei der Vorbereitung der Referate bei.

2. Vorbereitung:

Zusammenstellen geeigneter Aufgabenstellungen aus Lehrbüchern bzw. Firmenunterlagen. Auswahl einiger Themen in Stichworten:

Wachstumsprozesse
Radioaktiver Zerfall, Altersbestimmung, Halbwertszeit, Halbwertsdicke
Sicherheitsabstand im Straßenverkehr
Optik: Brechungsgesetz. Linsengleichung
Lade- und Entladevorgänge bei Kondensatoren, Akkus
Herleitung des Trägheitsmoments mit Hilfe der Infinitesimalrechnung (in den Mechanikbüchern werden oft Herleitungen mit Differenzen und diskreten Summen durchgeführt und dann in die Integralform "gebracht")
Herleitung des statischer Momente mit Hilfe der Infinitesimalrechnung, Guldinsche Regeln
Behandlung der Durchbiegung von Trägern mit Hilfe der Infinitesimalrechnung
Gleichrichtmittelwerte und Effektivwerte von unterschiedlichen Wechselspannungen (Sinus, Einweggleichrichtung, Zweiweggleichrichtung, Sägezahn, Rechteck, Antwort eines Hoch- bzw. Tiefpasses auf Rechtecksignale, ...)
Erwärmungs- und Abkühlungsvorgänge
Wärmeaustausch, Maßnahmen zur Wärmedämmung
Kinematik, Bewegungsaufgaben, Geschwindigkeit und Beschleunigung, Schwingungen, Kreisbewegung, ...
Wahrscheinlichkeitsaufgaben rund um Glücksspiele (z.B.: Roulette)
Gravitationsgesetz, Satelliten, Arbeit und Energie im Schwerefeld, Leistung
Das zylindrische österreichische Faß (Kepler)
Pyramiden als Energieträger
Impulserhaltung beim Antrieb eines Raumschiffes, veränderliche Masse
Schaltung temperaturabhängiger Widerstände - Kompensation
mechanische Schwingungen, Resonaz
usw.

Anfertigung einer Schülerliste für Themenvergabe und Termine
Vorbereitung des Musterbeispiels

3. Planung und Durchführung:

In einer Unterrichtseinheit wird das Musterbeispiel vorgeführt. Anschließend erhalten die Schüler die Liste der mit den zur Auswahl stehenden Themen. Der Durchführungsmodus wird erläutert. Jeder Schüler hat zunächst die Möglichkeit selbst ein Thema nach persönlichem Interesse auszuwählen. Dabei könnte eingegriffen werden, wenn ein schwacher Schüler ein besonders schwieriges Beispiel oder ein besonders guter Schüler ein zu leichtes Beispiel wählen würde. Anschließend werden Termine und der Zeitplan für die Präsentationen festgelegt. Die schriftliche Ausfertigung sollte jeweils in der vorhergehenden Unterrichtseinheit fertig sein und zur Kontrolle vorgelegt werden, um Fehler bei der Präsentation und in den Unterlagen für die Schulkollegen zu vermeiden. Es könnte auch noch die Möglichkeit bestehen, Besprechung konkreter Fragen bzw. Hilfestellungen sowie Literatur anzubieten. Dieses Angebot haben im konkreten Fall etwa 40% der Schüler genutzt.

Ein Beispiel eines Schülers ist am Ende des Beitrags zu finden.

4. Resümee und Ausblick:

Die schriftlichen Ausführungen waren großteils recht gut und übersichtlich gestaltet. Bei den Präsentationen stand allerdings zu oft die reine mathematische Herleitung und nicht die Verbindung zwischen der Aufgabe und der Mathematik im Vordergrund. Ich hatte manchmal den Eindruck einer "Flucht in die Formeln", da sowohl die Übersetzung des gestellten Problems in die Mathematik als auch die Interpretation der Ergebnisse trotz Vorbereitung oft große Schwierigkeiten bereitete. Diese Form der Behandlung von Anwendungsbeispielen bietet jedoch für die Schüler die Möglichkeit, sich mit solchen Schwierigkeiten auseinanderzusetzen.

Als Erweiterung wäre eine Forcieren des Einsatzes audiovisueller Hilfsmittel in Zukunft sicher wünschenswert. Vielleicht ist es auch manchem Schüler möglich CAS oder selbstgeschriebene Programme am Computer für seine Präsentation einzusetzen. Dabei wäre es sicher empfehlenswert, wenn die Schüler den Einsatz dieser Hilfsmittel schon des öfteren miterlebt haben.

Am Ende des Schuljahres (nach der Konferenz) habe ich die Schüler gebeten, auch anonym, ihren Eindruck und ihre Meinung zu diesem Modell schriftlich niederzulegen. Das Echo war durchwegs positiv. Einige Schüler hatten Probleme mit dem Einhalten der Termine.