Peter Weilharter, HTBLuVA Mödling

Kurzzusammenfassung:

Exponentialfunktion

2. Jahrgang

Das Eigengewicht der Lufthülle erzeugt in der Luft einen Druck, der mit zunehmendem Abstand von der Erdoberfläche kleiner wird. In der Nähe der Erdoberfläche gilt:
Mit je 8 m Höhenunterschied ändert sich der Luftdruck um je 100 Pa = 1 hPa.
Setzt man eine in den verschiedenen Höhen gleiche Temperatur voraus, so nimmt der Luftdruck bei zunehmender Höhe nach einer Exponentialfunktion ab.

dann gilt für Höhen bis zu » 100 km bei konstanter Temperatur die barometrische Höhenformel

Für p₀ = 101,3 kPa , t = 0° C in der ganzen Atmosphäre und folgt aus (1) und mit Hilfe des Ti-92 Plus

2. Herleitung der barometrischen Höhenformel

Aufgrund einer Wertetabelle soll der Schüler erkennen, dass die Abnahme des Luftdruckes einer Exponentialfunktion folgt.
Folgende Tabelle wurde aus "Ingenieur-Mathematik Band 2 (Timischl/Kaiser)" entnommen:

Um einen ersten Eindruck von der Kurve, die sich aus obigen Werten ergibt, zu erhalten; werden zunächst die Werte in den Ti-92 Plus eingegeben.

Mit  ® 6 ® 3 bekommt man folgendes Menü, indem für Type: 3: List wählt und einen Variablennamen (z.B.: plist) definiert:

Mit  erhält man eine Tabelle, in der die Werte wie folgt eingetragen werden:

Als nächstes wird ein Graph mit  ® ® xyline ® x = c1 ® y = c2 definiert.

Um ein geeignetes Koordinatensystem zu bekommen müssen die Windowseinstellungen geändert werden (® e ):
Die x-Werte stellen die Höhen dar, die in unserem Beispiel von 0 m bis 20000 m (Skalierung: 5000 m) gehen.
Die y-Werte ergeben den Luftdruck, der bis 1100 mbar (Skalierung: 100 m) geht.

Mit  ® r erhält man folgenden Graphen:

Anhand des Graphen, läßt sich schon eine Exponentialfunktion vermuten, dennoch gibt es dafür noch keinen Beweis.
Eine wichtige Eigenschaft der Exponentialfunktion liegt darin, dass bei gleichbleibender Schrittweite D x die relative Funktionsänderung  konstant ist.
Es gilt:
Im Data/Martix-Editor werden die Werte für D y in der Spalte c3 und in der Spalte c4 die Werte für  berechnet:
 

Daraus lässt sich leicht erkennen, dass die relative Funktionsänderung ungefähr den Wert -0,465 annimmt und konstant ist.
Es handelt sich offensichtlich um eine Exponentialgleichung, dessen Funktionsgleichung nun einfach zu berechnen ist.

Es gilt:  mit und ergibt sich:

Es werden 2 Lösungen angegeben, wobei die zweite Lösung (negative Basis!) nicht sinnvoll ist.

Für die barometrische Höhenformel gilt dann:

         (vergleiche Gleichung (3))                     mit 

Mit  ® w ® y1(x)= p(x) und  ® r erhält man folgende Graphen:
 

nur p(x)	p(x) und Graph aus der Liste "plist"

Die Übereinstimmung der gefunden Exponentialfunktion p(x) mit der gegebenen Wertetabelle lässt sich auch mit Hilfe der Tabellenfunktionen nachweisen.
Dazu ändern wir in "Tblset" (® t) die Einstellung für D t auf den Wert 5000. Die Tabelle erhält man mit  ® y :

Um die Halbwertshöhe, also jene Höhe, in der der ursprüngliche Druck um die Hälfte abgefallen ist, zu bestimmen definiert man im Y=Editor die konstante Funktion . Die x-Koordinate des Schnittpunktes der konstanten Funktion mit der Exponentialfunktion ergibt dann die Halbwertshöhe.

Mit  ® 5 können Schnittpunkte bestimmt werden. Dabei wird man aufgefordert zunächst die beiden Graphen auszuwählen, danach muss der Schnittpunkt noch eingegrenzt werden, indem man eine untere und obere Grenze für den x-Wert angibt (Wichtig, für den Fall, das mehr als ein Schnittpunkt vorhanden ist).
  Beim Schnittpunkt ergibt sich die Halbwertshöhe bei 5548,87 m.
Die Halbwetshöhe  ergibt sich auch aus der Gleichung:

oder 

Formt man jedoch die Gleichung mit Hilfe der Potenzgesetze geeignet um, so lässt sich auch diese Gleichung ohne Zuhilfenahme des Logarithmus lösen.

®

Gerald KAISER , HTBL Kapfenberg

Der Schüler ist mit dem Begriff der Potenzreihe vertraut. Er weiß, dass sich eine konvergente Potenzreihe wie eine Funktion verhält. Man kann sie unter anderem gliedweise differenzieren und die Potenzreihe einer Funktion ist eindeutig.

Wählt man den Entwicklungspunkt x₀ = 0, so ergibt sich die Darstellung
f(x) == mit ( ) .

1. Wie kann man eine Funktion in eine Potenzreihe entwickeln?

Die Funktion sinx soll an der Stelle x₀ = 0 in eine Potenzreihe entwickelt werden.
Wie kann man die Koeffizienten a_n bestimmen?
sinx = 

Setzt man für x = 0 in die Gleichung ein, so erhält man den Koeffizienten a₀. Da man eine Potenzreihe gliedweise differenzieren kann, ist die Ermittlung der weiteren Koeffizienten kein Problem mehr. Mit dem TI 92 soll dies nun mechanisiert werden.

	Wir geben zunächst die rechte Seite bis zur 9.Potenz ein. Für die Ermittlung der Koeffizienten ai schreibt man sie zunächst als Konstanten a an. Danach bildet man die ersten 9 Ableitungen mit Hilfe des Sequence-Befehles und setzen x = 0, wobei für n = 0 der Funktionswert an der Stelle x = 0 ermittelt wird.
	Nun ermittelt man den Funktionswert und die Ableitungswerte von sinx an der Stelle x = 0.

Im nächsten Schritt ermittelt man die Koeffizienten a_i.
 

	Dazu setzt man die Liste der einzelnen Ableitungen der Polynome am Entwicklungspunkt x = 0 mit der Liste der Ableitungen von sin x gleich und lösen die Gleichungen nach a auf.
	Man wandelt die Liste in einen Vektor um. Durch Verwendung von right im Befehl erhält man nur die Zahlenwerte der Koeffizienten. Alle Koeffizienten mit geradem Index sind dabei null.
	Zur Ermittlung der Potenzreihe bildet man zunächst die Folge mit den Potenzen der Variablen x und wandelt diese wiederum in einen Vektor um. Abschließend bildet man das Skalarprodukt der beiden Vektoren und erhält die Potenzreihe.
	Graphische Darstellung der Potenzreihe und der Funktion sinx.

Abschließend erfolgt die Bemerkung, dass diese Potenzreihe die allgemeine Form der Taylor-Reihe ( Mac Laurin-Reihe) darstellt. Es wird nun die Formel für die Taylor-Reihe erarbeitet.

2. Approximation der Funktion y = sinx durch Taylorpolynome

Der Schüler kennt die Formel für die Taylor-Reihe. Er hat händisch Funktionen in Taylorpolynome entwickelt. Dabei werden Tabellen für die Taylorpolynome erstellt und graphisch dargestellt.
Die nächste Frage stellt sich sofort. In welchem Bereich kann eine Funktion durch eine Potenzreihe angenähert werden?

Nun verwendet man den vordefinierten Befehl für die Taylor-Reihe und ermittelt 3 Taylor-polynome.
  Aus der Graphik kann man nur ungefähr den Bereich ermitteln, indem die Annäherung brauchbar ist.

Wir wollen nun den Bereich ermitteln, indem die Abweichung der Funktion sinx vom Taylorpolynom höchstens 1% beträgt. Die dabei entstehenden Gleichungen werden mit dem TI 92 gelöst.
 

Es ergeben sich für

t1(x) :rad ( 14,0°)
t3(x) :rad ( 57,7°)
t5(x): rad (101,0°)

y1(x) = sinx, y2(x) = t1(x),  y3(x) = t3(x), y4(x) = t5(x)